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德國數學家 康托爾 生平簡介

時間:2019-11-05 23:10來源:知行網www.gbjajh.tw 編輯:麥田守望者

數學史話之無窮的集合康托爾

格奧爾格·費迪南德·路德維希·菲利普·康托爾

格奧爾格·費迪南德·路德維希·菲利普·康托爾于1845年出生在俄國的圣彼得堡,他是個猶太人,但是他們全家都是基督徒,這可能也是后來康托爾性格有些分裂的原因。康托爾12歲的時候,他們全家搬去了德國,到他15歲的時候,他的數學天賦已經顯露了出來,他想成為一個數學家,但是他的父親強迫他學習工程。康托爾不像黎曼那樣去跟自己的父親據理力爭,而他的父親也不像黎曼的父親那樣善解人意,康托爾只是順從地按照父親選的道路去前進。這又是康托爾性格中軟弱的地方,他總是對自己很不自信,總是希望通過自己的改變來取悅別人。所以后來克羅內克惡毒攻擊他的集合論的時候,康托爾不是想辦法去爭鋒相對,而是開始懷疑自己的價值。這也是造成他后來精神分裂的原因之一。

數學史話之無窮的集合康托爾

圣彼得堡

康托爾的父親后來認識到了自己的錯誤,所以當康托爾17歲中學畢業時,還是同意了他去學習數學。他先是來到蘇黎世大學學習,第二年由于他父親的去世,他又轉學去了柏林大學,專攻數學、哲學和物理,只不過康托爾只對數學和哲學有興趣,而對物理完全無愛。康托爾在柏林大學時的數學指導老師包括庫默爾、魏爾斯特拉斯和以后一生的敵人克羅內克(不知道為什么,很多小個子的人攻擊性總是特別強,可能是因為從小由于個子小而產生的不安全感造成的,克羅內克就是個懟天懟地的人)。柏林大學當時由于庫默爾、克羅內克的存在,所以算術氣氛很濃厚。康托爾在大學期間就鉆研了高斯的七封印之書《算術研究》,并以此寫出了他的博士論文,在文中他討論了高斯留下的關于不定方程ax^2+by^2+cz^2=0的x,y,z整數解的難點,并以此論文獲得了博士學位。

康托爾像黎曼一樣,在博士畢業兩年后進入哈雷大學當了一名沒有薪俸的老師,1872年他被任命為講師,到了1879年又被任命為教授。康托爾從一開始就受威爾斯特拉斯的影響,從三角級數理論--特別是傅里葉級數--進入到了數論分析中去。這個理論由于無窮級數的收斂性問題而變得異常困難,康托爾不得不深入到其中去研究理論背后的哲學基礎,這樣他就開始了"無窮"這個概念本身的數學和哲學問題的全面的分析和研究,而這也是關于連續、極限和收斂等等問題的基礎。1872年他在《數學年鑒》上發表了一篇題為《三角級數中一個定理的推廣》的論文,把唯一性的結果推廣到允許例外值是某種無窮的集合情形。為了描述這種集合,他首先定義了點集的極限點,然后引進了點集的導集和導集的導集等有關重要概念。這是從唯一性問題的探索向點集論研究的開端,并為點集論奠定了理論基礎。康托爾在29歲的時候寫出了第一篇關于無窮級數的革命性的論文,在這篇論文中,康托爾第一次建立了"全部代數數集合"這個概念,這在當時的數學界無疑是一個石破天驚的創造,標志著一個全新的東西已經出現了。當時康托爾正在因特拉肯度蜜月,正好戴德金也在那里,他們經常在一起交流,戴德金可以說是康托爾當時唯一一個了解自己學說的數學家了。同年他又構造了實變函數論中著名的"康托爾集",給出測度為零的不可數集的一個例子。他還巧妙地將一條直線上的點與整個平面的點一一對應起來,甚至可以將直線與整個n維空間進行點的一一對應。從1879年到1883年,康托爾寫了六篇系列論文,論文總題目是"論無窮線形點流形",其中第五篇論文后來以單行本出版,單行本的書名《一般集合論基礎》。康托爾的信條是:"數學在它自身的發展中完全是自由的,對他的概念限制只在于:必須是無矛盾的,并且與由確切定義引進的概念相協調。……數學的本質就在于它的自由。"

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康托爾集的構造

康托爾在他的集合論中談到:實數集合是不可列的。由于實數集合是不可列的,而代數數集合是可列的,于是他得到了必定有超越數存在的結論,而且超越數"大大多于"代數數。這就引發了另外一個概念"超窮數理論"。在他的單行本《一般集合論基礎》中的主要成果就是引入了超窮數概念。在書中,康托爾還給出了良序集和無窮良序集編號的概念,指出整個超窮數的集合是良序的,而且任何無窮良序集,都存在唯一的一個第二數類中的數作為表示它的順序特性的編號。康托爾還借助良序集定義了超窮數的加法、乘法及其逆運算。

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集合論基礎

康托爾的理論是自芝諾以來人類第一次給"無窮"建立起抽象的形式符號系統和確定的運算,它從本質上揭示了無窮的特性,使無窮的概念發生了一次革命性的變化,并滲透到所有的數學分支,從根本上改造了數學的結構,促進了數學的其他許多新的分支的建立和發展,成為實變函數論、代數拓撲、群論和泛函分析等理論的基礎,還給邏輯和哲學帶來了深遠的影響。但是康托爾在他的無窮數理論中的推理過程中大部分都是非構造性的,這在克羅內克這種宣稱"上帝造了整數",恨不得"把全部數學從代數到分析都實現算術化"的人看來,無疑是瘋狂的。于是他開始利用手邊的一切武器猛烈并惡毒地攻擊康托爾本人還有他的理論,最終導致的結果就是克羅內克沒有能摧毀康托爾的理論,但是他的確摧毀了康托爾本人(從之前的介紹中我們就可以知道,康托爾是個很不自信的人,很容易陷入自我否定和懷疑中)。1884年,康托爾第一次精神崩潰,在他隨后的歲月中,這種崩潰反復發作,以至于精神病所成為了他的避難所。康托爾后來轉而研究神學和哲學,只是在精神狀態略有好轉的時候,繼續他的集合論的研究工作。

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克羅內克

康托爾于1918年在哈雷的精神病院去世,他最后得到了榮譽和承認。隨著新世紀的到來,人們逐漸認識到集合論的重要性。希爾伯特高度贊譽康托爾的集合論"是數學天才最優秀的作品","是人類純粹智力活動的最高成就之一","是這個時代所能夸耀的最巨大的工作"。在1900年第二屆國際數學家大會上,希爾伯特高度評價了康托爾工作的重要性,并把康托爾的連續統假設列入20世紀初有待解決的23個重要數學問題之首。

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